Argument d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe

Soit z un nombre complexe qui s'écrit sous forme algébrique,

`z = x + i * y`

x - la partie réelle de z
y - la partie imaginaire de z

dont une représentation graphique est,

Alors, l'argument de z est un nombre réel défini comme suit.
Un argument d’un nombre complexe non nul z, noté arg(z), est une mesure `\varphi` en radians de l’angle formé par l'axe des abcisses (Ox) et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\), M étant l'image de z dans le plan complexe (point d'affixe z).

z peut s'écrire sous forme polaire,
`z = r *( cos(\varphi) + i * sin(\varphi))`

ou sous forme exponentielle,
`z = r * e^(i*\varphi)`

`\text{arg}(z) = \varphi`
`|z| = r` où |z| est le module de z

Argument principal
Il existe plusieurs arguments de z : `\varphi\, \varphi+2pi\, \varphi+4pi` en font partie mais il existe un seul argument compris entre `]-pi,pi]`, on appelle ce dernier l'argument principal de z.

Comment calculer l'argument ?
En rapprochant les formes algébrique et polaire, on peut écrire,

`z = |z| *( cos(\varphi) + i * sin(\varphi)) = x + i*y`

Pour trouver l'argument principal de z , il suffit de trouver `\varphi` compris entre `-pi` et `pi` tel que,

`{(cos(\varphi) = \frac{x}{|z|}),(sin(\varphi) = \frac{y}{|z|}):}`

Exemples de calcul

Exemple 1
`z = i`
`|z| = 1, x = 0, y = 1`
`cos(\varphi) = \frac{0}{1} = 0`
`sin(\varphi) = \frac{1}{1} = 1`
on déduit, `\text{arg}(z) = \varphi = pi/2`

Exemple 2
`z = \sqrt(3)+i`
`|z| = \sqrt(\sqrt(3)^2+1^2) = \sqrt(3+1)=2, x = \sqrt(3), y = 1`
`cos(\varphi) = \frac{\sqrt(3)}{2}`
`sin(\varphi) = \frac{1}{2}`

on déduit, `\text{arg}(z) = \varphi = pi/6`

Voir aussi

Module d'un nombre complexe
Conjugué d'un nombre complexe
Opérations sur les nombres complexes