Calculateur de deux cercles
Calculateur de deux cercles : points d'intersection, aire de l'intersection et axe radical.
Formules de Calcul de deux cercles
Dans toute la suite, on se placera dans le repère orthonormé défini comme suit,
• l'origine du repère est C1 (centre du cercle de gauche).
• l'axe des abcisses (C1x) est la droite reliant les centres des deux cercles
• l'axe des ordonnées (Y) est l'axe perpendiculaire à l'axe (C1x) passant par C1
`d_1` représente à la fois,
• l'abcisse commun aux deux points d'intersection des deux cercles
• la distance qui sépare le centre du cercle 1 (point C1) de l'axe D
| `d_1 = (R^2-r^2+ d^2)/(2*d)` `d_2 = d-d_1` |
y est l'ordonnée du point d'intersection au dessus de l'axe des x. Ce point a pour coordonnées (d1 , y). Par symétrie, le deuxième point d'intersection a pour coordonnées (d1 , -y). D'après le théorème de Pythagore,
| `y = sqrt(R^2 - d_1^2)`
On déduit h, la distance entre les deux points d'intersection, `h = 2*y` |
Aire de l'intersection des deux cercles
Cette formule se déduit des formules de calcul dans un segment circulaire en additionnant les aires des deux segments circulaires délimités par la droite D (axe radical).
| `A = r^2*arccos(d_1/r)-d_1*sqrt(r^2-d_1^2)+R^2*arccos(d_2/R)-d_2*sqrt(R^2-d_2^2)` |
Axe radical de deux cercles
Définition
L'axe radical est une droite située entre les deux cercles et dont les points ont la même puissance par rapport aux deux cercles, c'est à dire que les tangentes qui relient n'importe quel point de cette droite aux deux cercles ont la même longueur.
Par exemple, sur le schéma ci-dessus, D est l'axe radical des deux cercles. (MT1) et (MT2) sont les deux tangentes aux deux cercles issues de M. On a donc MT1=MT2.
Calcul de la position de l'axe radical (d1 et d2)
`MT_1 = MT_2` (par définition de l'axe radical D) (1)
Les quatres formules suivantes s'obtiennent en appliquant le théorème de Pythagore respectivement aux triangles rectangles MC1T1 , MC2T2 , NMC1 et NMC2.
`MC_1^2 = MT_1^2+R^2` (2)
`MC_2^2 = MT_2^2+r^2` (3)
`MC_1^2 = d_1^2+NM^2` (4)
`MC_2^2 = d_2^2+NM^2` (5)
On déduit de (1) , (2) et (3),
`MT_1^2 = MT_2^2 = MC_1^2-R^2 = MC_2^2-r^2` (6)
On déduit de (4) et (5),
`NM^2=MC_1^2-d_1^2=MC_2^2-d_2^2` (7)
On déduit de (6) et (7),
`MC_1^2-MC_2^2 = d_1^2-d_2^2= R^2-r^2` (8)
Or, `d_1+d_2 = d` (9)
En résolvant le système à deux équations (8) et (9) et deux inconnues d1 et d2, on obtient,
`d_1 = (d^2+R^2-r^2)/(2*d)` `d_2 = (d^2-R^2+r^2)/(2*d)` |
Cas particulier : deux cercles qui se coupent en deux points
C'est le cas dans le schéma en haut de la page, l'axe radical coincide avec la droite qui passe par les deux points d'intersection.
Applications
Quelques applications possibles de ce calculateur,
• Calcul de l'aire d'une lunule
• En optique géometrique afin de calculer les paramètres géométriques d'une lentille modélisée en 2D comme l'intersection de deux cercles : aire, hauteur, angles, etc.
Voir aussi
Calculateur de cercle
Calculateur de segment circulaire
Calculateurs de Géometrie analytique
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques