Calculateur de deux segments
Exemple : pour un segment dont les extrémités sont les points (1,2) et (6 0), saisir : 1 2 6 0 (séparateur : blanc).
Notations :
- S1 et S2 : deux segments d'un plan muni d'un repère orthonormé (O,X,Y)
- Le segment S1 relie les deux points (a1 , b1) et (c1 , d1).
- Le segment S2 relie les deux points (a2 , b2) et (c2 , d2).
Pente d'un segment
La pente d'un segment passant par deux points est égale à la pente de la droite passant par ces deux deux points.
Calculateur de pente : Calculateur de droite
m1 : pente de S1
m2 : pente de S2
`m_1 = (d_1-b_1) / (c_1-a_1)`
`m_2 = (d_2-b_2) / (c_2-a_2)`
Déterminer si deux segments sont parallèles
Deux segments sont parallèles si et seulement si une des deux propositions suivantes est vraie :
- Les deux segments sont verticaux c'est à dire parallèles à l'axe de y.
- Les deux segments ont la même pente : `m_1 = m_2`
Déterminer si deux segments sont perpendiculaires
Deux segments sont perpendiculaires si et seulement si une des deux propositions suivantes est vraie :
- L'un des deux segments est vertical (parallèle à l'axe des y) et l'autre est horizontal (parallèle à l'axe des x).
- Le produit des pentes des deux segments est égale à -1 : `m_1 * m_2 = -1`
Point d'intersection de deux segments
On va utiliser les équations paramétriques des deux segments S1 et S2. Pour plus d'infos sur les différentes formes d'équation d'un segment, consultez : Equations d'un segment.
Un point M (x,y) du plan est commun aux segments S1 et S2 si et seulement si, ses coordonnées x et y vérifient les équations paramétriques des deux segments :
\( \left\{ \begin{array}{c} x=a_1+t_1.(c_1-a_1) \\ y=b_1+t_1.(d_1-b_1) \\ 0<=t_1<=1 \end{array} \right. \)
\( \left\{ \begin{array}{c} x=a_2+t_2.(c_2-a_2) \\ y=b_2+t_2.(d_2-b_2) \\ 0<=t_2<=1 \end{array} \right. \)
S1 et S2 ont une intersection non vide si le système suivant a au moins une solution (t1 , t2 ) avec 0 ≤ t1 ≤1 et 0 ≤ t2 ≤ 1 :
\( \left\{ \begin{array}{c} a_1+t_1.(c_1-a_1) = a_2+t_2.(c_2-a_2) \\ b_1+t_1.(d_1-b_1) = b_2+t_2.(d_2-b_2) \\ \end{array} \right. \)
Ce système peut être réécrit comme suit,
\( \left\{ \begin{array}{c} t_1.(c_1-a_1) - t_2.(c_2-a_2) = a_2-a_1 \\ t_1.(d_1-b_1) - t_2.(d_2-b_2) = b_2- b_1 \\ \end{array} \right. \)
Il s'agit d'un système de Cramer dont voici un calculateur : Calculateur de système de Cramer.
Dans un tel système, ce qui est important c'est le déterminant de la matrice des coefficients c'est à dire, :
`\text{det}([(c_1-a_1,-(c_2-a_2)),(d_1-b_1,-(d_2-b_2))]) = -(c_1-a_1)*(d_2-b_2)+(c_2-a_2)*(d_1-b_1)`
Il y a plusieurs cas possibles :
- Ce déterminant est non nul donc il existe une solution unique (t1 et t2). Si ces dernières sont comprises entre 0 et 1 alors les deux segments ont un seul point d'intersection.
- Ce déterminant est non nul mais les solutions uniques t1 et t2 ne sont pas comprises entre 0 et 1 alors les deux segments ne se croisent pas.
En fait, dans ce cas, les droites qui prolongent les segments ont un point d'intersection mais ce dernier n'appartient pas aux deux segments.
- Le déterminant est nul. Dans ce cas soit il y a 0 solutions (segments parallèles ou appartiennent à la même droite mais n'ont pas d'intersection), soit il y a une infinités de solutions : les deux segments se "chevauchent" (leur intersection est un segment de droite).
Angle entre deux segments
L'angle entre deux segments est équivalent à l'angle formé par les droites qui les contiennent. Voir formule et calculateur ici : angle formé par deux droites.
Voir aussi
Calculateur de Segment
Calculateur de droite
Système linéaire à deux inconnues
Calculateurs de Géometrie analytique
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques