Dérangement - Calculateur en ligne

Cet outil en ligne permet de calculer le nombre de dérangements d’un ensemble de n éléments.

Définition d'un dérangement

Un dérangement d'un ensemble d'éléments est une permutation telle que aucun élément ne reste à sa place initiale. On dit que c'est une permutation sans point fixe.

Le nombre de dérangement d'un ensemble à n éléments est égale à la subfactorielle de n (notée !n).

\(D_n = !n = n!\,\sum_{i=0}^n \dfrac{(-1)^i}{i!}\)

Un exemple de dérangement

Dans un cours de dance, il y a 4 couples de danseurs. Sur proposition du professeur, tous les danseurs doivent changer de partenaire pour la chanson suivante. Calculer le nombre de configurations possibles.

Réponse : il s'agit d'une permutation sans point fixe car aucun danseur ne doit retrouver sa partenaire initiale. C'est un dérangement avec n = 4.

Réponse : \(D_4 =\, !4 = 4!\,\sum_{i=0}^4 \dfrac{(-1)^i}{i!} = 9\)

Tableau des premières valeurs

\(D_0 = 1\)
\(D_1 = 0\)
\(D_2 = 1\)
\(D_3 = 2\)
\(D_4 = 9\)
\(D_5 = 44\)
\(D_6 = 265\)
\(D_7 = 1854\)
\(D_8 = 14833\)
\(D_9 = 133496\)
`D_10 = 1334961`
`D_11 = 14684570`
`D_12 = 176214841`
`D_13 = 2290792932`
`D_14 = 32071101049`
`D_15 = 481066515734`
`D_16 = 7697064251745`
`D_17 = 130850092279664`
`D_18 = 2355301661033953`
`D_19 = 44750731559645106`
`D_20 = 895014631192902121`

Voir aussi

Permutation
Arrangement
Combinaison

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