Division euclidienne

Calcul de la division euclidienne de deux nombres entiers avec reste. Les entiers peuvent être positifs, négatifs ou sous forme de puissance (Exemple : saisir 2^45 pour 2 puissance 45). La division posée est faite dans le cas où le dividende et le diviseur sont positifs.
Pour les nombres décimaux (Ex: 112.45 ÷ 56.7), utilisez : Division décimale.
Pour les polynômes, Ex : (x² + 1) ÷ (x - 1), utilisez : Division de deux polynômes.

Division euclidienne de deux nombres entiers positifs (naturels)

Faire la division entière d’un nombre entier naturel (le dividende) par un autre nombre entier naturel non nul (le diviseur) revient à trouver deux nombres entiers naturels (le quotient et le reste) qui vérifient:

dividende = (quotient × diviseur) + reste
Le reste est un nombre entier naturel strictement inférieur au diviseur.

Exemple: 17 ÷ 5 = 3 reste 2

Division euclidienne de deux nombres entiers relatifs

La définition ci-dessus peut être généralisée à deux nombres entiers qui peuvent être négatifs (nombres entiers relatifs).

Soit,
a le dividende et b le diviseur,

alors il existe 2 nombres entiers uniques q (quotient) et r (reste) tels que :

`a = b . q + r`   et   `0 <= r < |b|`

Exemples

- Cas d'entiers naturels:
23 ÷ 4 = 5 reste 3
56 ÷ 7 = 8 reste 0

- Cas d'entiers relatifs
-23 ÷ 5 = -5 reste 2
-65 ÷ 3 = -22 reste 1
45 ÷ -4 = -11 reste 1
-26 ÷ -7 = 4 reste 2

- Cas particuliers:
Si le dividende est égal à 0 alors le quotient et le reste sont égaux à 0.
0 ÷ 3 = 0 reste 0

Si le dividende est égal au diviseur alors le quotient est égal à 1 et le reste est égal à 0.
24 ÷ 24 = 1 reste 0

Si le dividende est un multiple du diviseur (donc le diviseur divise le dividende) alors le reste est égal à 0.
9 ÷ 3 = 3 reste 0

Division entière et modulo

Soit deux entiers relatifs a et b alors le reste de la division euclidienne de a par b est congru à a modulo b, ce qui s'écrit,

`a\equiv r\mod b`

r étant le reste de la division entière de a par b.

Programmation

Voici comment on programme le quotient et le reste de la division euclidienne de deux nombres entiers a (dividende) et b (diviseur).

A noter que dans python, le reste de la division euclidienne peut être négatif.
Dans le calculateur ci-dessus, le reste est toujours positif ou nul, ce qui garantit son unicité.

Python

def division_euclidienne(a,b): 
    #quotient = a//b , reste = a % b
    return (a//b , a%b)

Voir aussi

Division décimale posée
Addition posée
Soustraction posée
Multiplication posée
Operation modulo
Critères de divisibilité
Test de divisibilité

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