Ecart type

Ecart type

En statistique, l'écart type est une mesure de la dispersion d'une série de valeurs par rapport à la moyenne. Noté `sigma` (lettre grecque sigma), il est à la fois égal à :
- la racine carré de la variance
- la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne

L'écart type est calculé (ou estimé) différemment selon que les données disponibles concernent la population entière ou seulement un échantillon de la population.

Calcul de l'écart type à partir de la population entière
Dans ce cas, on dispose des valeurs pour la population entière. Le calcul de l'écart type est direct à partir de la définition ci-dessus :

Soit la série X,

`X = {x_1, x_2, ..., x_n}`

On note `bar x` la moyenne de la série X soit, `bar x = 1/n.sum_{i=1}^{i=n}x_i`

L'écart type s'écrit alors,

`sigma = sqrt(1/n.sum_{i=1}^{i=n}(x_i-barx)^2)`

Exemple : `X = {1, 2, 5, 3,8}`

Pour calculer l'écart type, on calcule d'abord la moyenne soit,

`bar x = 1/5.(1+2+5+3+8) = 3.8`

On déduit l'écart type,

`sigma = sqrt(1/5( (1-3.8)^2+(2-3.8)^2+(5-3.8)^2+(3-3.8)^2+(8-3.8)^2)) approx 2.48`

Estimation de l'écart type à partir d'un "échantillon"
Dans ce cas, on ne dispose pas des valeurs pour la population entière mais seulemet d'un échantillon. On ne peut pas calculer l'écart type directement à partir de la définition ci-dessus. On utilise ce qu'on appelle un estimateur.

L'estimateur le plus utilisé pour l'écart type est le suivant :

Soit la série X (échantillon de la population entière),

`X = {x_1, x_2, ..., x_n}`

On note `bar x` la moyenne de l'échantillon (à ne pas confondre avec la moyenne de la population) soit, `bar x = 1/n.sum_{i=1}^{i=n}x_i`

L'écart type est estimé comme suit,

`sigma = sqrt(1/(n-1).sum_{i=1}^{i=n}(x_i-barx)^2)`

Exemple : `X = {1, 2, 5, 3,8}`

X étant les valeurs pour une population tirée au hasard parmi la population totale.

On calcule d'abord la moyenne de l'échantillon soit,

`bar x = 1/5.(1+2+5+3+8) = 3.8`

On déduit une estimation de l'écart type,

`sigma = sqrt(1/4( (1-3.8)^2+(2-3.8)^2+(5-3.8)^2+(3-3.8)^2+(8-3.8)^2)) approx 2.77`

Voir aussi

Variance statistique
Moyenne quadratique
Moyenne arithmétique