Equation du second degré

Solveur d'équation du second degré :   `ax^2+bx+c=0`
Il traite aussi le cas des coefficients et des solutions avec des nombres complexes.

Comment utiliser ce calculateur ?

Ce calculateur est un solveur d'équation du second degré ax²+bx+c=0.
L'outil calcule les solutions exactes quand elles existent et donne aussi des approximations numériques de celles-ci.

Champ "Inclure solutions complexes"

Voici les choix possibles,

• Non : si vous cherchez uniquement des solutions réelles (résolution de l'équation dans l'ensemble des réels `RR`).
• Oui : si vous souhaitez étendre la recherche à `CC`, l'ensemble des nombres complexes.

Saisie des coefficients

Voici quelques indications concernant la saisie des coefficients de l'équation.

1. Pour un produit de deux variables, utiliser l'opérateur * par exemple : saisir m*p et non mp.
2. Vous pouvez saisir :
   • des entiers, exemple : 5, -7
   • des fractions, exemple : 1/3 ou -2/9
   • des valeurs décimales, exemple : 3.9 ou -9.65
   • des constantes, exemple : pi ou e
   • les fonctions usuelles, exemple : sin(pi/5)
   • l'opérateur racine carré, exemple : saisir sqrt(3) ou 3^0.5 pour `sqrt(3)`
   • des nombres complexes, exemple : 1+i ou -i

Comment résoudre une équation du 2d degré ?

On suppose que les coefficients sont des nombres réels et que nous cherchons des solutions réelles.
On suppose que, dans tout ce qui suit, `a != 0`.

• Etape 1 : Calculer le discriminant `\Delta = b^2-4*a*c`
• Etape 2 : Calculer les solutions


• Si `\Delta < 0` : il n' y a pas de solution.


• Si `\Delta = 0` : il y a une seule solution
  
  `x_1 = -b/(2*a)`


• Si `\Delta > 0` : il y a 2 solutions
  
  `x_1 = (-b-sqrt(\Delta))/(2*a)`
  
  `x_2 = (-b+sqrt(\Delta))/(2*a)`
  

Bon à savoir

Il est utile de connaitre quelques astuces pour résoudre rapidement une équation du second degré.

• Si b est un entier pair, on peut simplifier les calculs en calculant un discriminant réduit.

`\Delta' = b'^2-a*c` avec `b' = b/2`

Si ce discriminant est positif, alors les solutions sont,

`x_1 = (-b'-sqrt(\Delta'))/a`

`x_2 = (-b+sqrt(\Delta'))/a`


• Si a et c sont de signes contraires (par exemple a=3 et c=-5) alors, l'équation a forcément deux solutions réelles car dans ce cas, a*c < 0 donc -4*a*c > 0 ce qui implique `\Delta = b^2-4*a*c > 0`


• Il peut être utile de calculer rapidement s = a+b+c (la somme des coefficients) car si s=0, alors x=1 est une solution de l'équation.
  
  En effet, en remplaçant x par 1, on obtient
  
  `a*1^2+b*1+c=a+b+c=0`.
  
  La deuxième solution peut être trouvée en mettant en facteur (x-1) dans l'équation ou en utlisant la propriété suivante.


• Il peut être utile de connaitre les formules de la somme et du produit des solutions d'une équation du second degré.
  
  On note x₁ et x₂ les racines de l'équation (réelles ou complexes) et on note le produit P et la somme S,
  
  `S = x_1+x_2`
  
  `P = x_1*x_2`
  
  alors on a,
  
  `S = -b/a`
  
  `P = c/a`
  
  Application : pour calculer deux nombres dont on connait la somme S et le produit P alors il suffit de résoudre l'équation du second degré :
  
  `x^2 - S*x +P=0`
  
  S'ils existent, les deux nombres cherchés sont les solutions de cette équation.

Cas des solutions complexes

Si `\Delta < 0`, on a vu que l'équation n'a pas de solution réelle. En revanche, elle a deux solutions dans `CC`, l'ensemble des nombres complexes, qui sont :

`x_1 = (-b-i*sqrt(-\Delta))/(2*a)`

`x_2 = (-b+i*sqrt(-\Delta))/(2*a)`

Voir aussi

Calculateur d'Equation du troisième degré
Calculateurs d'Equation et d'Inéquation
Calculateurs mathématiques

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