Equation du troisième degré
Il traite aussi le cas des coefficients et des solutions avec des nombres complexes.
Les équations du troisième degré, également connues sous le nom d'équations cubiques, sont des équations polynomiales où le degré le plus élevé est trois. Elles ont une forme générale `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0`, où `a`, `b`, `c` et `d` sont des constantes, avec `a` différent de zéro. Ces équations jouent un rôle crucial dans divers domaines scientifiques et ingénierie.
Comment utiliser ce calculateur ?
Ce calculateur est un solveur d'équation du troisième degré ax3+bx2+cx+d=0.L'outil calcule les solutions exactes quand elles existent et donne aussi des approximations numériques de celles-ci.
Saisie des coefficients
Voici quelques indications concernant la saisie des coefficients de l'équation.- Pour un produit de deux variables, utiliser l'opérateur * par exemple : saisir m*p et non mp.
- Vous pouvez saisir :
- des entiers, exemple : 5, -7
- des fractions, exemple : 1/3 ou -2/9
- des valeurs décimales, exemple : 3.9 ou -9.65
- des constantes, exemple : pi ou e
- les fonctions usuelles, exemple : sin(pi/5)
- l'opérateur racine carré, exemple : saisir sqrt(3) ou 3^0.5 pour `sqrt(3)`
- des nombres complexes, exemple : 1+i ou -i
Fondements théoriques
Une équation du troisième degré peut se présenter sous différentes formes mais sa représentation la plus commune est `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0`. Historiquement, les solutions de ces équations ont été explorées depuis l'Antiquité, menant à des développements significatifs en algèbre.
Résolution générale des équations du troisième degré
La méthode de Cardan est une approche classique pour résoudre les équations du troisième degré. Supposons une équation générale `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0`. La première étape consiste à éliminer le terme quadratique par une substitution de variable. On pose `x = y - b/(3a)`, ce qui transforme l'équation originale en une nouvelle forme `y^3 + py + q = 0`, où `p` et `q` sont des expressions basées sur `a`, `b`, `c`, et `d`. Ensuite, on introduit deux nouvelles variables, `u` et `v`, telles que `y = u + v`. En substituant `y` dans l'équation transformée, on obtient une équation en `u` et `v` qui mène à un système d'équations. Ce système peut être résolu pour trouver `u` et `v`, souvent en utilisant la méthode de la substitution ou des méthodes de résolution de systèmes d'équations non linéaires. Finalement, les racines de l'équation cubique originale sont retrouvées en exprimant `x` en termes de `u` et `v` et en inversant la substitution initiale. Cette méthode, bien que complexe dans ses calculs, est très efficace pour trouver les racines exactes d'équations du troisième degré.
Exemple de résolution avec la Méthode de Cardan
Considérons l'équation `x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0`. Cette équation a été spécifiquement choisie car elle possède des solutions entières qui peuvent être trouvées par des méthodes simples comme le tâtonnement ou la recherche par essai-erreur. L'objectif ici est de dérouler la méthode de Cardan pour résoudre cette équation et de vérifier que les solutions obtenues correspondent bien aux racines entières que l'on peut deviner. Cela permet de démontrer la validité de la méthode de Cardan et de comprendre comment elle s'applique, même pour des équations qui semblent avoir des solutions simples à première vue.
Pour appliquer la méthode de Cardan, nous commençons par éliminer le terme quadratique. Nous posons `x = y + 1` (puisque `-b/(3a) = 1`). En substituant dans l'équation originale, nous obtenons `y^3 - 7y + 6 = 0`.
Ensuite, nous introduisons `u` et `v` tels que `y = u + v`, ce qui transforme l'équation en `u^3 + v^3 + (3uv - 7)(u + v) + 6 = 0`. En choisissant `3uv - 7 = 0`, on trouve :
`u^3 + v^3 + 6 = 0` et `uv = 7/3`. Ces deux équations forment un système qui nous permet de trouver `u` et `v`.
En remplaçant `v` par `7/(3u)` dans la première équation, nous obtenons `u^3 + (7/(3u))^3 + 6 = 0`. En multipliant toute l'équation par `u^3`, nous obtenons une équation polynomiale en `u^3`: `u^6 + 6u^3 + (7/3)^3 = 0`. Cette équation peut être résolue comme une équation quadratique en posant `z = u^3`, donnant `z^2 + 6z + (7/3)^3 = 0`.
Les solutions de cette équation sont :
`z_1=-10/9*i*sqrt(3) - 3`
`z_2=10/9*i*sqrt(3) - 3`
On peut utiliser ce calculateur équation pour vérifier les calculs.
Nous trouvons les valeurs de `u` en utilisant `z=u^3`. Cela revient à extraire les racines cubiques de `z_1` et `z_2`, nous obtenons les valeurs possibles pour `u` avec l'extracteur de racine n-ième de z1 et l'extracteur de racine n-ième de z2
Ensuite, `v` peut être trouvé en utilisant la relation `uv = 7/3`. Finalement, les valeurs de `x` sont obtenues en remplaçant `y` par `u + v` dans `x = y + 1`.
En utilisant le calculateur suivant calculateur d'expression, avec un peu de patience, on arrive aux solutions 2 , 3 et -2 vérifiables ici.
Résoudre une équation du troisième degré connaissant une racine
Lorsqu'une racine `r` d'une équation cubique `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0` est connue, plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour simplifier l'équation.
Méthode de la Division Euclidienne
La division euclidienne permet de diviser l'équation cubique par `(x - r)`. Cette opération réduit l'équation à une forme quadratique `ex^2 + fx + g = 0`. Cette nouvelle équation peut ensuite être résolue en utilisant les méthodes standards pour les équations du second degré.
On pourra utiliser ce calculateur pour faire la division de 2 polynômes: division euclidienne de polynômes.
Méthode de la Factorisation
Une autre approche consiste à factoriser l'équation cubique sous la forme `(x - r)(ax^2 + bx + c)`. En développant cette expression, on retrouve l'équation originale, ce qui permet de déduire les valeurs de `a`, `b` et `c`. Cette forme factorisée facilite la résolution de l'équation restante du second degré.
Ce calculateur peut être utile dans ce cas: factoriser un polynôme.
Exemple 1: Prenons l'équation `x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0` et supposons que nous savons que `x = 3` est une racine. Nous pouvons factoriser l'équation comme `(x - 3)(ax^2 + bx + c) = 0`. En développant cette expression, nous obtenons `ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b)x - 3c = 0`. En comparant avec l'équation originale, nous pouvons établir un système d'équations pour trouver `a`, `b`, et `c`. Dans ce cas, nous trouvons que `a = 1`, `b = 0`, et `c = 4`, donc l'équation factorisée devient `(x - 3)(x^2 - 4) = 0`.
Factorisation par Forçage
Exemple: Considérons à nouveau l'équation `x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0` et supposons que nous connaissons une racine, `x = 2`. Pour appliquer la factorisation par forçage, nous commençons par réarranger l'équation pour faire apparaître `(x - 2)`. Nous pouvons réécrire l'équation comme:
`x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0`
on ajoute puis retranche `2*x^2` pour "forcer" le facteur `x-2`
`x^2*(x-2) + 2*x^2 - 3x^2 - 4x + 12 = 0`
`x^2*(x-2) - x^2 - 4x + 12 = 0`
de la même manière on ajoute puis retranche `2*x` pour "forcer" le facteur `x-2`
`x^2*(x-2) - x*(x-2) -2*x - 4x + 12 = 0`
`x^2*(x-2) - x*(x-2) -6*x + 12 = 0`
`x^2*(x-2) - x*(x-2) -6*(x - 2) = 0`
`(x-2)*(x^2 - x -6) = 0`
La résolution de l'équation est ainsi facilitée car ramenée à une équation du second degré.
Analyse graphique
La représentation graphique d'une équation cubique peut aider à visualiser les racines et la nature de l'équation. Le graphique de `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0` montre les points où la courbe coupe l'axe des x, qui sont les racines de l'équation.
Pour visualiser le graphe d'une fonction (ici le polynôme de degré 3 en question), on peut également étudier ses propriétés telles que les sens de variation, les points singuliers, les maximums et minimums locaux, et les points d'inflexion. Cette analyse permet non seulement de trouver où la fonction coupe l'axe des x (les racines), mais aussi de comprendre le comportement global de la fonction. Par exemple, l'étude des dérivées première et seconde peut révéler les points où la pente de la courbe change de direction ou où la courbure de la graphique change, fournissant ainsi une compréhension plus approfondie de la structure de l'équation cubique. Tracer le graphe de l'équation aide à visualiser ces caractéristiques et à mieux comprendre la nature de la fonction.
On pourra se référer à calculateurs de polynômes pour vérifier les calculs.
Pour visualiser le graphe d'une fonction (ici le polynôme de degré 3 en question), on peut utiliser: graphe de f(x)=x^3 - 3x^2 - 4x + 12.
Conclusion
La compréhension des équations du troisième degré et de leurs méthodes de résolution est essentielle pour de nombreux domaines scientifiques et techniques. Ce guide offre un aperçu complet des différentes méthodes et applications de ces équations.
Voir aussi
Calculateur d'Equation du second degré
Calculateurs d'Equation et d'Inéquation
Calculateurs mathématiques