Factoriser un nombre
Pour factoriser un polynôme, Ex : x2 - 1, utilisez : Factoriser un polynôme
Résultat
Pour factoriser un nombre, il est important de connaître les critères de divisibilités rappelés ci-dessous.
Critères de divisibilité
Ces règles simples sont très pratiques pour factoriser un nombre.
Divisibilité par 2
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair.Exemple: 654 est divisible par 2 car son chiffre des unités 4 est pair.
Divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.Exemple: 654 est divisible par 3 car 6 + 5 + 4 = 15 et 15 est divisible par 3.
Divisibilité par 4
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.Exemple: 123524 est divisible par 4 car 24 est divisible par 4.
Divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.Exemple: 6543525
Divisibilité par 6
Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3, ce qui revient à dire qu'il est pair et la somme de ses chiffres est divisible par 3 (Cf règle de divisibilité par 3 ci-dessus).Exemple: 8622 est divisible par 6 car il est pair et il est divisible par 3 (la somme de ses chiffres est 8+6+2+2=18 et 18 est divisible par 3).
Divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.Exemple: 165411 est divisible par 9 car 1+6+5+4+1+1=18 et 18 est divisible par 9.
Divisibilité par 10
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.Exemple: 4350 est divisible par 10.
Il existe d'autres régles plus compliquées pour les divisions par 7, 11, 13 et autres que nous détaillons pas ici.
Une méthode pour factoriser un nombre
On procède par essais successifs. On tente de diviser le nombre avec des nombres premiers de plus en plus grands (2,3,5,7,etc). Quand on trouve un diviseur, on répète l'opération avec le quotient trouvé. On aura trouvé tous les facteurs quand on a atteint un quotient qui un nombre premier.
Exemple : comment factoriser 546 ?
- Durant les essais de division, en appliquant les critères de division rappelés ci-dessus, on peut savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9...
- 546 est divisible par 2 (se termine par 6 qui est divisible par 2 !)
`546 = 2 * 273` (on retient 2)
- On réitère l'opération avec 273. On remarque que la somme des chiffres de 273 (= 2+7+3 = 12) est divisible par 3 donc 273 est divisible par 3.
`273 = 3 * 91` (on retient 3)
- On répète l'opération avec 91 : il n'est pas divisible par 3 ni 5 (toujours en appliquant nos règles simples...). En revanche, il est divisible par 7 car 91 = 7 x 13 (on retient 7)
- 13 est premier, on a atteint la fin de l'opération ! on peut écrire:
`546 = 2 * 3 * 7 * 13`
Remarque:
Un nombre non premier a toujours un diviseur inférieur à sa racine carré. En conséquence, on peut limiter la recherche de diviseurs aux nombres premiers compris entre 2 et `E(sqrt(N))` (partie entière de la racine de N).
Liste de nombres premiers
- Les nombres premiers de 1 à 10
2, 3, 5, 7
- Les nombres premiers de 11 à 100
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Les nombres premiers de 101 à 1000
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
Programmation
Voici comment on programme la factorisation d'un nombre en facteurs premiers.Python
def factoriser(n):
i = 2
facteurs = []
while i * i <= n:
if n % i:
i += 1
else:
n //= i
facteurs.append(i)
if n > 1:
facteurs.append(n)
return facteurs
Voir aussi
Trouver les diviseurs d'un nombre
Tester si un nombre est premier
Rechercher des nombres premiers