Fonctions hyperboliques inverses
utiliser sqrt(2) pour la racine carrée de 2 par exemple.
Tableau des fonctions hyperboliques réciproques dans R (nombres réels)
| Fonction | Abbreviation | Domaine de définition | Domaine image |
|---|---|---|---|
| Argument sinus hyperbolique | y = arsinh(x) | l'ensemble des réels | l'ensemble des réels |
| Argument cosinus hyperbolique | y = arcosh(x) | y >= 1 | y >= 0 |
| Argument tangente hyperbolique | y = artanh(x) | -1 < y < 1 | l'ensemble des réels |
| Argument cotangente hyperbolique | y = arcoth(x) | y < -1 ou y > 1 | l'ensemble des réels non nuls |
Argument sinus hyperbolique
La fonction argument sinus hyperbolique est la réciproque de la fonction sinus hyperbolique. Elle est définie par,
`\text{arsinh}(x) = ln(x+sqrt(x^2+1))`
arsinh(x) existe quelque soit le réel x donc le domaine de définition est `RR`.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est `RR`.
Argument cosinus hyperbolique
La fonction argument cosinus hyperbolique est la réciproque de la fonction cosinus hyperbolique. Elle est définie par,
`\text{arcosh}(x) = ln(x+sqrt(x^2-1))`
arcosh(x) existe pour les réels x >= 1 donc le domaine de définition est [1, +∞[.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est [0, +∞[.
Argument tangente hyperbolique
La fonction argument tangente hyperbolique est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique. Elle est définie par,
`\text{artanh}(x) = frac{1}{2}*ln(frac{1+x}{1-x})`
artanh(x) existe pour les réels x compris entre -1 et 1 donc le domaine de définition est ] -1 , 1 [ .
Le domaine image est l'ensemble des réel `RR`.
Argument cotangente hyperbolique
La fonction argument cotangente hyperbolique est la réciproque de la fonction cotangente hyperbolique. Elle est définie par,
`\text{arcoth}(x) = frac{1}{2}*ln(frac{x+1}{x-1})`
arcoth(x) existe pour x < -1 ou x > 1 donc le domaine de définition est ]–∞, –1[∪]1, +∞[.
Le domaine image est l'ensemble des réel non nuls `RR` \ {0}.