Calculateur d'Intégrale définie
Calculateur d'Intégrale Définie en Ligne
Cet outil permet le calcul en ligne d'intégrales définies de fonctions. Il accepte une large gamme de fonctions, y compris les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.
Importance des Intégrales en Mathématiques
L'intégrale définie joue un rôle essentiel en mathématiques et dans des disciplines comme la physique et l'ingénierie. Elle permet de calculer des grandeurs telles que des aires sous des courbes, des volumes et d'autres mesures liées aux taux de changement.
Comment Utiliser le Calculateur
Suivez ces étapes simples pour utiliser le calculateur d'intégrale :
- Saisie de la variable (ex : x).
- Entrée de la fonction à intégrer (ex : x^3).
- Indication de la borne inférieure (a), pouvant être une valeur, une constante ou -inf (pour -infini).
- Indication de la borne supérieure (b), pouvant être une valeur, une constante ou +inf (pour +infini).
Guide de saisie des données
Ce guide vous aide à saisir correctement les données dans le calculateur :
| Variables | Une fonction peut avoir une ou plusieurs variables dont une principale. Une variable = une lettre alphabétique minuscule ou majuscule Exemples: f(x) = 4*x ou f(x) = 4*x*m + x + 1, saisir x dans le champ "variable principale" |
|---|---|
| Nombres | séparateur décimal : point |
| Opérateurs | + - * / ^ (puissance) Attention : pour le produit de a par b, utiliser la touche "étoile" du clavier. Saisir a*b et non ab. Exemple: 2*x. |
| Constantes | pi, e |
| Fonctions usuelles | sqrt (racine), exp (exponentielle), log(x) ou ln (logarithme népérien), |
| Fonctions trigonométriques | sin (sinus), cos (cosinus), tan (tangente), cot (cotangente), sec (sécante), csc (cosécante), |
| Fonctions trigonométriques inverses | arcsin (arcsinus), arccos (arccosinus), arctan (arctangente), arccot (arcotangente), arcsec (arcsécante), arccsc (arccosécante) |
| Fonctions hyperboliques | sinh (sinus hyperbolique), cosh (cosinus hyperbolique), tanh (tangente hyperbolique), coth (cotangente hyperbolique), sech (secante hyperbolique), csch (cosécante hyperbolique) |
| Fonctions hyperboliques inverses | asinh (sinus hyperbolique inverse) acosh (cosinus hyperbolique inverse), atanh (tangente hyperbolique inverse), acoth (cotangente hyperbolique inverse), asech (sécante hyperbolique inverse), acsch (cosécante hyperbolique inverse) |
Calculer une Intégrale sur un Intervalle
Pour calculer une intégrale sur un intervalle donné, il est essentiel de connaître la primitive de la fonction intégrée. La règle fondamentale est l'application du Théorème Fondamental du Calcul Intégral, qui stipule que l'intégrale définie de `a` à `b` d'une fonction `f(x)` est égale à la différence entre les valeurs de sa primitive aux points `b` et `a`. En formule, cela s'écrit comme `F(b) - F(a)`, où `F` est la primitive de `f`.
`\int_a^b f(x) \ dx = F(b)-F(a)`
Dans le cas d'intégrales impliquant l'infini (`+oo` ou `-oo`), l'approche consiste à considérer ces limites comme des limites tendant vers l'infini. Par exemple, pour calculer l'intégrale de `a` à `+oo`, on évalue la limite de `F(x)` lorsque `x` tend vers l'infini et soustrait `F(a)`.
Pour trouver facilement la primitive d'une fonction, vous pouvez utiliser notre Calculateur de la Primitive d'une fonction.
Tableau des primitives des fonctions usuelles
| Fonction f(x) | Primitive |
|---|---|
| `k` où `k in RR` | `k*x+C` |
| `x^n` où `n in NN`* | `x^(n+1)/(n+1)+C` |
| `1/x` | `ln(|x|)+C` |
| `1/x^n` où `n in NN , n >=2` | `-1/((n-1)x^(n-1))+C` |
| `sqrt(x)` | `frac{2}{3}*x*sqrt(x)+C` |
| `1/sqrt(x)` | `-1/(2*x*sqrt(x))+C` |
| `sin(x)` | `-cos(x)+C` |
| `cos(x)` | `sin(x)+C` |
| `ln(x)` | `x*ln(x)-x+C` |
| `e^x` | `e^x+C` |
Tableau des primitives des fonctions composées
| Fonction composée | Primitive |
|---|---|
| `u'*u` | `u^2/2+C` |
| `(u')/u^2` | `-1/u+C` |
| `u'*u^n` où `n in NN\text{ et }n != -1` | `u^(n+1)/(n+1)+C` |
| `(u')/u^n` où `n in NN\text{ et }n >= 2` | `1/((n-1)*u^(n-1))+C` |
| `(u')/sqrt(u)` | `2*sqrt(u)+C` |
| `(u')/u` | `ln(|u|)+C` |
| `u'*e^u` | `e^u+C` |
| `u'*sin(u)` | `-cos(u)+C` |
| `u'*cos(u)` | `sin(u)+C` |
| `u'*u^a` où `a in RR\text{ et }a != -1` | `u^(a+1)/(a+1)+C` |
| `u'*g(u)` | `g(u)+C` |
Exemples de Calcul d'Intégrale
Ces exemples illustrent comment utiliser le calculateur pour différentes fonctions et démontrent également la méthode de calcul manuelle pour chaque type d'intégrale :
Intégrale d'une Fonction Polynomiale
Avec le Calculateur : Pour calculer l'intégrale de `f(x) = x^3` sur l'intervalle de 1 à 3, saisissez x comme variable, x^3 comme fonction, 1 pour la borne inférieure, et 3 pour la borne supérieure.
Méthode Manuelle : L'intégrale de `x^3` est `(x^4)/4`. Sur l'intervalle de 1 à 3, calculez `(3^4)/4 - (1^4)/4` pour obtenir le résultat qui est égal à 20.
Intégrale d'une Fonction Trigonométrique
Avec le Calculateur : Pour intégrer `f(x) = sin(x)` de 0 à pi, entrez x en tant que variable, sin(x) pour la fonction, 0 pour la borne inférieure et pi pour la borne supérieure.
Méthode Manuelle : L'intégrale de `sin(x)` est `-cos(x)`. Appliquez la limite de 0 à pi pour obtenir `-cos(pi) - (-cos(0))`, soit 2.
Intégrale d'une Fonction Logarithmique
Avec le Calculateur : Pour l'intégrale de `f(x) = ln(x)` de 1 à e, saisissez x comme variable, ln(x) pour la fonction, 1 pour la borne inférieure, et e pour la borne supérieure.
Méthode Manuelle : L'intégrale de `ln(x)` est `x*ln(x) - x`. En appliquant les limites de 1 à e, le calcul devient `e*ln(e) - e - (1*ln(1) - 1)`, ce qui simplifie à 1.
Conclusion
Ce calculateur d'intégrale définie en ligne est un outil puissant, conçu pour simplifier les calculs d'intégration. Que vous soyez étudiant, enseignant ou professionnel, il vous aide à calculer rapidement et précisément des intégrales sur divers intervalles. Explorez ses capacités et améliorez votre compréhension des concepts mathématiques fondamentaux.
Voir aussi
Dérivée d'une fonction
Primitive d'une fonction
Développement limité d'une fonction
Limite d'une fonction
Valeur d'une fonction