Opérations sur les matrices

Comment additionner deux matrices ?

Les deux matrices doivent avoir la même dimension à savoir, le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
Additionner deux matrices est relativement simple : il suffit d'additionner les éléments de la même position deux à deux.

Exemple:

Soit A et B, deux matrices 2 x 2

`A = [[1,5],[6,-4]]`

`B = [[0,-12],[3,7]]`

On a alors,

`A + B = [[1+0,5-12],[6+3,-4+7]] = [[1,-7],[9,3]]`

Comment soustraire deux matrices ?

De la même manière que l'addition, les deux matrices doivent avoir la même dimension à savoir, le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
Pour soustraire deux matrices, il suffit de soustraire les éléments de la même position 2 à 2.

Exemple:

Soit A et B, deux matrices 3 x 2

`A = [[2,6],[7,-2],[5,11]]`

`B = [[1,-10],[4,7],[-9,13]]`

On a alors,

`A - B = [[2-1,6-(-10)],[7-4,-2-7],[5-(-9),11-13]] = [[1,16],[3,-9],[14,-2]]`

Comment multiplier deux matrices ?

Soit deux matrices A et B, la mutiplication des deux matrices A . B n'est possible que si le nombre de colonnes de A est égale au nombre de lignes de B. Ainsi, on pourra multiplier une matrice 2 x 3 par une matrice 3 x 4 mais pas par une matrice 2 x 2. Pour généraliser,

Le produit matriciel A . B est défini pour des matrices de dimensions:
A de dimension m x n
B de dimension n x p

Le produit des deux matrices P = A . B est une matrice de dimension m x p.

Attention : bien respecter le sens, il s'agit ici de A . B et non B . A qui est une autre affaire ! on dit que le produit matriciel n'est pas commutatif.

Comment calculer le produit ?

Soit A matrice 2 x 3 et B une matrice 3 x 2. D'après la condition énoncée ci-dessus (m=2, n=3 et p=2), la multiplication est possible et la matrice produit P = A . B est de dimension 2 x 2

`A = [[1,5,2],[3,4,7]]`

`B = [[0,-1],[8,6],[-2,10]]`

`P = A*B = [[\color {red} {1},\color {red} {5},\color {red} {2}], [3,4,7]] * [[\color {red} {0}, -1], [\color {red} {8}, 6], [\color {red} {-2} ,10]] = [[\color {red} {c_11}, c_12], [c_21, c_22]]`

- Pour calculer le coefficient `c_11`, on "multiplie" la 1ère ligne par la 1ère colonne. On a ainsi,

`c_11 = [1,5,2]*[[0],[8],[-2]] = 1*0 +5*8 +2*(-2) = 36`

- Pour calculer le coefficient `c_12`, on "multiplie" la 1ère ligne par la 2ème colonne. On a ainsi,

`c_12 = [1,5,2]*[[-1],[6],[10]] = 1*(-1) +5*6 +2*(10) = 49`

- Pour calculer le coefficient `c_21`,on "multiplie" la 2ème ligne par la 1ère colonne. On a ainsi,

`c_21 = [3,4,7]*[[0],[8],[-2]] = 3*0 +4*8 +7*(-2) = 18`

- Pour calculer le coefficient `c_22`, on "multiplie" la 2ème ligne par la 2ème colonne. On a ainsi,

`c_22 = [3,4,7]*[[-1],[6],[10]] = 3*(-1) +4*6 +7*(10) = 91`

On écrit le résultat final,

`P = A*B = [[36,49],[18,91]]`

On peut généraliser le produit de deux matrices somme suit,
soit A et B deux matrices de dimensions respectives m x n et n x p, alors le produit P = A. B est une matrice de dimension m x p. On note `c_(ij)` l'élément de la matrice P qui se trouve à la i-ème ligne et j-ième colonne.

Le coefficient `c_(ij)` s'obtient en "multipliant" la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.

Comment diviser deux matrices ?

On suppose que A et B sont deux matrices telles que:
- A est une matrice de dimension m x n
- B est une matrice carré inversible de dimension n (Voir Matrice inverse)

Dans ces conditions, on peut parler de la division de A par B. La matrice division est:

`D = A . B^(-1)`

On a donc ramené le problème à une multiplication de deux matrices `A` par `B^(-1)` (explicitée ci-dessus).

Exemple: Comment diviser A par B ?

`A = [[1,2],[5,7]]`

`B = [[-1,2],[10,7]]`

On vérifie les conditions de divisibilité:

- B est-elle une matrice carrée ? oui, car le nombre de colonnes est identique au nombre de lignes (=2).
- B est-elle inversible ? oui car son déterminant est différent de 0 (det[B] = -1*7-2*10 = -27).

Les conditions de divisibilité sont bien vérifiées donc, on peut calculer `D = A . B^(-1)`

On inverse B, on obtient

`B^(-1) = [[-7/27,2/27],[10/27,1/27]]`

`D = A*B^(-1) = [[1,2],[5,7]] * [[-7/27,2/27],[10/27,1/27]]`

On obtient le résultat final,

`D = [[13,4],[35,17]]`

Voir aussi

Calculateurs d'Algèbre linéaire