Opérations sur les nombres complexes
Addition de nombres complexes
Soit `z_1` et `z_2` deux nombres complexes tels que,
`z_1= a_1 +b_1.i`
`z_2= a_2 +b_2.i`
alors,
`z_1 +z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 +b_2) * i`
Cela veut dire que pour additionner deux nombres complexes, il suffit d'additionner leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.
Exemple:
`z_1= 4 + i`
`z_2= -1 - 3*i`
`z_1 +z_2 = (4 -1) + (1 -3) * i = 3 -2*i`
Soustraction de nombres complexes
Soit `z_1` et `z_2` deux nombres complexes tels que,
`z_1= a_1 +b_1.i`
`z_2= a_2 +b_2.i`
alors,
`z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) * i`
Cela veut dire que pour calculer la soustraction de deux nombres complexes, il suffit de faire la soustraction de leurs parties réelles entre elles et de leurs parties imaginaires entre elles.
Exemple:
`z_1= i`
`z_2= -6 - 3*i`
`z_1 - z_2 = (0 -(-6)) + (1 -(-3)) * i = 6 + 4*i`
Produit de nombres complexes
Soit `z_1` et `z_2` deux nombres complexes tels que,
`z_1= a_1 +b_1.i`
`z_2= a_2 +b_2.i`
alors,
`z_1 * z_2 = (a_1 +b_1*i) * (a_2 +b_2*i)`
`z_1 * z_2 = a_1 * a_2 +a_1*b_2*i + b_1*a_2*i + b_1*b_2*i^2`
Or, `i^2 = -1`
`z_1 * z_2 = a_1*a_2-b_1*b_2 + i*(a_1*b_2+b_1*a_2)`
Exemple:
`z_1= 1 + 2*i`
`z_2= 5 - 4*i`
`z_1 * z_2 = (1 +2*i) * (5 -4*i)`
`z_1 * z_2 = 5 -4*i +(2*i)*5-2*i*4*i`
`z_1 * z_2 = 5 -4*i +10*i -8*i^2`
`z_1 * z_2 = 5 -4*i + 10*i + 8`
`z_1 * z_2 = 13 + 6*i`
Division de nombres complexes
Soit `z_1` et `z_2` deux nombres complexes tels que,
`z_1= a_1 +b_1.i`
`z_2= a_2 +b_2.i`
alors,
`\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 +b_1*i}{a_2 +b_2*i}`
On utilise le conjugué de `z_2` afin d'éliminer i du dénominateur (Cf plus de détails Conjugué d'un nombre complexe) :
`bar z_2 = a_2 -b_2.i`
En fait, on s'appuie sur cette identité,
`z_2 * bar z_2 = (a_2 +b_2.i) * (a_2 -b_2.i) = a_2^2 + b_2^2`
`\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 +b_1.i)*bar z_2}{(a_2 +b_2.i)*bar z_2} = \frac{(a_1 +b_1.i)(a_2 -b_2.i)}{(a_2 +b_2.i)*(a_2 -b_2.i)} = \frac{(a_1*a_2 +b_1*b_2) + (b_1*a_2 - a_1*b_2)*i}{(a_2^2 +b_2^2)}`
Exemple:
`z_1= 3 -i`
`z_2= 2 - 5*i`
`\frac{z_1}{z_2} = \frac{3-i}{2-5*i}`
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de `z_2` :
`bar z_2 = 2+5*i`
`\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3-i)*(2+5*i)}{(2-5*i)(2+5*i)} = \frac{6+15*i-2*i+5}{4+25} = \frac{11+13*i}{29} = \11/29+13/29*i`