PGCD de Polynômes

Ce module calcule le PGCD ou le Plus Grand Commun Diviseur de deux Polynômes à coefficients rationnels.

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Comment utiliser ce calculateur ?

Variable	Saisir une lettre alphabétique qui représente la variable du polynôme. Exemples : polynôme = 4x+1 , saisir variable = 'x' polynôme = 9t + 5 , saisir variable ='t'
Polynôme	Sont acceptés : La variable du polynôme Les coefficients du polynôme : doivent être rationnels c'est à dire des nombres entiers (exemples : -4 ou 6) ou des fractions (exemples : 1/4 ou -4/5) ou des nombres décimaux (séparateur décimal : point. Exemple : 3.6). Les opérateurs : + - * / ^ (ce dernier est l'opérateur puissance ainsi, x^2 = `x^2`) Les parenthèses : à uiliser par exemple pour des produits de polynômes, (x^2+1)(x-5)
Exemples	Polynôme = x^2-4x+1 (variable = 'x') Polynôme = (x^2-1)(x-5)-3 (variable = 'x') Polynôme = x^3-4/3x^2+1 (variable = 'x') Polynôme = 0.23t^2-1/5*t+1/2 (variable = 't')

Exemple de calcul du PGCD de 2 polynômes

Pour trouver le PGCD (plus grand commun diviseur) des polynômes

`A(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - x - 2`
et
`B(x) = x^3 - x^2 - x - 2`

Nous allons utiliser l'algorithme d'Euclide pour les polynômes c'est à dire faire des divisions successives de polynômes jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD sera le dernier reste non nul.

Nous procédons comme suit :

Étape 1 : Division de A(x) par B(x)

On divise A(x) par B(x) et on note le quotient Q1(x) et le reste R1(x).
A(x) : B(x) = Q1(x) avec un reste R1(x).
`Q1(x) = x^2 - x`
et
`R1(x) = 2x^2 - 3x - 2`

Calculateur : Division A(x) par B(x)

Étape 2 : Division du diviseur par le reste (issus de l'étape précédente) c'est à dire B(x) par R1(x)

On divise maintenant B(x) par le reste précédent R1(x) et on note le nouveau quotient Q2(x) et le nouveau reste R2(x).
B(x) : R1(x) = Q2(x) avec un reste R2(x).
`Q2(x) = 1/2x + 1/4`
et
`R2(x) = 3/4x - 3/2`

Calculateur : Division B(x) par R1(x)

Étape 3 : Division du diviseur par le reste (issus de l'étape précédente) c'est à dire R1(x) par R2(x)

On divise maintenant R1(x) par le reste précédent R2(x) et on note le nouveau quotient Q3(x) et le nouveau reste R3(x).

R1(x) : R2(x) = Q3(x) avec un reste R3(x).
`Q3(x) = 8/3x + 4/3`
et
`R3(x) = 0`

Calculateur : Division R1(x) par R2(x)

Le pgcd est égal au dernier reste non nul c'est à dire,

Le PGCD (plus grand commun diviseur) de A(x) et B(x) est donné par le dernier reste non nul obtenu dans l'algorithme d'Euclide pour les polynômes, qui dans ce cas est `3/4x - 3/2`.

Nous pouvons multiplier ce reste par un réel, aussi appelé scalaire, afin d'éliminer les fractions et simplifier l'expression. Cette opération est valide car le PGCD n'est défini qu'à un facteur scalaire près.

Dans notre cas, en multipliant par `4/3`, nous obtenons `4/3 * (3/4x - 3/2)`, ce qui simplifie à `x - 2`. Ainsi, le PGCD peut être exprimé sous une forme simplifiée sans fractions.

`\text{PGCD}(A,B) = x - 2`

Voir aussi

Calculateurs de Polynôme
Calculateurs de Mathématiques