Point du plan le plus proche

Etant donnés un plan P (Ax+By+Cz+D=0) et un point M (a b c). Cet outil calcule N le point du plan P le plus proche de M.

Soit un plan P d'équation `Ax+By+Cz+D = 0` et M un point de l'espace de coordonnées M (a, b, c). Nous allons calculer les coordonnées de N, point du plan P le plus proche de M.

N est le projeté orthogonal de M sur P. Nous pouvons calculer l'équation paramétrique de la droite (MN) en utlisant le vecteur normal à P de coordonnées (A,B,C) :

`x= a +t.A`
`y= b +t.B`
`z= c +t.C`

N appartient au plan P donc il vérifie son équation :
`A*(a+t.A) + B*(b+t.B) + C(c+t.C) + D = 0`

`t = - (a.A+b.B+c.C+D)/(A^2+B^2+C^2)`

En substituant dans l'équation de la droite, on obtient les coordonnées du point N,

`x_N = a +t_N.A`
`y_N = b +t_N.B`
`z_N = c +t_N.C`

`t_N = - (a.A+b.B+c.C+D)/(A^2+B^2+C^2)`

Point du plan le plus proche de l'origine

Dans ce cas, M et O sont confondus. On a, a = b = c = 0.

D'après la formule ci-dessus, les coordonnées du point N sont les suivantes :

`x_N = t_N.A`
`y_N = t_N.B`
`z_N = t_N.C`

`t_N = - D/(A^2+B^2+C^2)`

Les coordonnées du point du plan le plus proche de l'origine s'écrivent donc,

`x_N = -(D*A)/(A^2+B^2+C^2)`
`y_N = -(D*B)/(A^2+B^2+C^2)`
`z_N = -(D*C)/(A^2+B^2+C^2)`

Voir aussi

Calculateurs de Géometrie analytique
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques