Calculateur de Polynômes de Second Degré
Calculateur de Polynômes de Degré 2
Ce calculateur est un outil spécialement conçu pour l'analyse détaillée des polynômes de degré 2, des fonctions quadratiques essentielles pour comprendre les courbes paraboliques. Leur forme générale est `f(x) = ax^2 + bx + c`, où `a`, `b` et `c` sont des constantes réelles avec `a ≠ 0`. Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques et ont de nombreuses applications dans des domaines tels que la physique et l'économie. Le calculateur utilise trois champs de saisie pour les coefficients `a`, `b` et `c`, permettant une étude complète et approfondie du polynôme correspondant.
Guide d'Utilisation
Pour utiliser ce calculateur, entrez simplement les valeurs des coefficients `a`, `b` et `c` du polynôme dans les champs dédiés. Par exemple, pour analyser le polynôme `f(x) = 2x^2 - 3x + 1`, saisissez 2, -3 et 1 respectivement dans les champs correspondants. Le calculateur fournira alors une analyse complète, comprenant le domaine de définition, les racines, les points d'intersection avec les axes, le sens de variation, l'ensemble image, la convexité/concavité et les différentes formes du polynôme.
Voici quelques indications concernant la saisie des coefficients du polynôme:
- Pour un produit de deux variables, utiliser l'opérateur * par exemple : saisir m*p et non mp.
- Vous pouvez saisir :
- des entiers, exemple : 5, -7
- des fractions, exemple : 1/3 ou -2/9
- des valeurs décimales, exemple : 3.9 ou -9.65
- des constantes, exemple : pi ou e
- les fonctions usuelles, exemple : sin(pi/5)
- l'opérateur racine carré, exemple : saisir sqrt(3) ou 3^0.5 pour `sqrt(3)`
Domaine de Définition
Le domaine de définition d'un polynôme de degré 2 est l'ensemble des nombres réels, noté `]-∞, +∞[`. Cela signifie que la fonction est définie et prend des valeurs réelles pour tout `x` réel.
Résolution de l'Équation f(x) = 0
Pour trouver les racines du polynôme, on résout l'équation `f(x) = 0`. Le discriminant `Δ = b^2 - 4ac` détermine le nombre de solutions. Si `Δ > 0`, il y a deux solutions réelles distinctes, si `Δ = 0`, une solution réelle double, et si `Δ < 0`, pas de solution réelle. Par exemple, pour `f(x) = x^2 - 5x + 6`, `Δ = (-5)^2 - 4*1*6 = 1`, il y a donc deux solutions réelles.
Intersection avec les Axes
Les points d'intersection avec l'axe des x sont les racines de l'équation.
Pour l'axe des y, le polynôme coupe cet axe à `f(0) = c`.
Par exemple, pour `f(x) = x^2 - 5x + 6`, les intersections avec l'axe des x sont aux points `(2,0)` et `(3,0)`, et avec l'axe des y à `(0,6)`.
Sens de Variation et Extremum
Un polynôme de degré 2 a toujours un extremum : un minimum si `a > 0` et un maximum si `a < 0`. Le sommet de la parabole se trouve à `x = -b/(2a)`. Par exemple, pour `f(x) = x^2 - 5x + 6`, le minimum est à `x = 5/2`.
Ensemble Image
L'ensemble image indique les valeurs que `f(x)` peut prendre. Pour un polynôme de degré 2 avec `a > 0`, l'ensemble image est `[f(-b/(2a)), +∞[`, et avec `a < 0`, c'est `]-∞, f(-b/(2a))]`.
Convexité et Concavité
La convexité (forme de "U") se produit lorsque `a > 0`, et la concavité (forme inversée) lorsque `a < 0`. Cela affecte la manière dont la fonction se comporte par rapport à son axe de symétrie.
Formes du Polynôme
La forme factorisée est utile pour trouver les racines, la forme canonique pour identifier le sommet et la forme générale pour une vue d'ensemble. Par exemple, pour `f(x) = x^2 - 5x + 6`, la forme factorisée est `(x - 2)(x - 3)`, et la forme canonique est `(x - 5/2)^2 - 1/4`.
Dérivée et Primitive
La dérivée d'un polynôme de degré 2 `f(x) = ax^2 + bx + c` est `f'(x) = 2ax + b`. Elle indique le sens de variation de la fonction.
Une primitive de f(x) est `F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 + cx`. Elle peut être utilisée pour calculer l'aire sous la courbe du polynôme.
Exemples et Applications
Par exemple, le polynôme `f(x) = 2x^2 - 3x + 1` modélise une trajectoire parabolique en physique. En économie, un polynôme comme `f(x) = -x^2 + 4x - 3` peut représenter un profit en fonction du volume de production.
Exploration Approfondie
Si vous souhaitez obtenir plus de propriétés géométriques de la courbe du polynôme de degré 2 qui est une conique (plus précisément une parabole), utiliser les calculateurs de coniques cités dans dans la section 'Voir aussi' (en bas de page) en particulier ce calculateur de conique.
Si vous souhaitez tracer la courbe du polynôme de degré 2 utiliser ce traceur de graphe d'une fonction.
Conclusion
Ce calculateur offre une fenêtre sur le monde fascinant des polynômes de degré 2. En explorant ces concepts, on gagne une compréhension plus profonde des applications mathématiques dans divers domaines.
Voir aussi
Calculateur d'Equation du 2ème degré
Calculateurs de fonction
Calculateur de conique
Calculateur de parabole
Calculateurs d'Equation et d'Inéquation
Calculateurs mathématiques