PPCM

Résultat

Qu'est ce que le PPCM ?

Le PPCM (ou plus petit commun multiple) de deux (ou plusieurs) entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple commun à ces nombres.

Méthode de calcul du PPCM

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le PPCM.

Méthode des multiples

C'est la méthode qui découle directement de la définition.
• On liste les multiples des entiers en question (par exemple à l'aide ce calculateur Trouver les multiples d'un nombre).
• Le PPCM est le plus petit nombre commun à ces deux listes.

Exemple 1 : Quelle est le PPCM de 6 et 21 ?

Multiples de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...
Multiples de 21 = 21, 42, 63...

Le plus petit élément commun à ces deux listes est 42. On déduit,
PPCM ( 6 , 21 ) = 42

Exemple 2 : quelle est le PPCM de 28 et 42 ?

Multiples de 28 = 28, 56, 84, 112...
Multiples de 42 = 42, 84, 126...

On remarque que le plus petit nombre commun aux deux listes est 84. C'est donc le PPCM.
PPCM (28 , 42) = 84.

Cette méthode n'est pas recommandée car elle exige de calculer plusieurs multiples des entiers en question ce qui peut être long et fastidieux pour les grands nombres. Les deux méthodes ci-dessous sont plus rapides.

Méthode avec factorisation

Exemple : Quelle est le PPCM de 48 et 42 ?

• On factorise les deux nombres,

`48 = 2^4 * 3` (factoriser 48)
`42 = 2 * 7 * 3` (factoriser 42)

• On calcule le PPCM à partir de sa décomposition en facteurs premiers.
Les facteurs du PPCM seront les facteurs présents dans les facteurs de 48 ou 42. Ainsi,
les facteurs premiers de 48 sont 2 et 3
les facteurs premiers de 42 sont 2, 7 et 3
les facteurs premiers du PPCM sont donc 2, 7 et 3

Chaque facteur aura l'exposant le plus grand des deux factorisations. Ainsi,
2 aura un exposant 4 (on compare 4 et 1 dans `2^4\text{ et }2^1` en prenant l'exposant le plus grand)
3 aura un exposant 1 (même exposant dans les deux factorisations)
7 aura un exposant 1 (présent uniquement dans 42)

On a donc,

`PPCM ( 48 , 42 ) = 2^4 * 3 * 7 = 336`

Méthode avec utilisation du PGCD

Cette méthode utilise la formule suivante (a et be étant deux entiers naturels) :

`PPCM( a , b ) * PGCD ( a , b ) = a * b`

On déduit,

`PPCM (a,b)=(a*b)/(PGCD(a,b))`

Ainsi, pour calculer le PPCM, il suffit de calculer le PGCD et appliquer cette formule.

On reprend l'exemple précédent: quelle est le PPCM de 48 et 42 ?

`PPCM (48,42)=(48*42)/(PGCD(48,42))`

Or,

PGCD( 48 , 42 ) = 6

Donc,

`PPCM ( 48 , 42 ) = 48 * 42 \div 6 = 336`

Propriétés du PPCM (avancé)

a et b sont deux entiers non nuls alors,

• si b est un diviseur de a, alors le PPCM de a et b est égal à a.

• si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;

• PGCD(a , b) divise PPCM(a , b) (plus petit commun multiple commun)

• Si on multiplie a et b par un même entier naturel k alors leur PPCM est multiplié par k.
PPCM(k.a , k. b) = k.PPCM(a , b)

• Le produit de leur PGCD par leur PPCM est égal à la valeur absolue de leur produit. Cela peut s'écrire,
PGCD(a , b) x PPCM(a , b) = |a x b|

• a et b sont premiers entre eux si et seulement si PPCM(a ; b) = a x b.

Programmation

Python

def ppcm(x,y):

   # on calcule le maximum de x et y
   if x > y:
       max = x
   else:
       max = y

   while(True):
        if((max % x == 0) and (max % y == 0)):
           ppcm = max
           break
        max += 1

   return ppcm 

Voir aussi

Multiples d'un nombre
PGCD
Factoriser un nombre