Propriétés d'une matrice
Matrice singulière
Une matrice est dite singulière si et seulement si son déterminant est nul. Une autre définition équivalente consiste à dire qu'une matrice est singulière quand au moins une colonne (ou une ligne) de la matrice est une combinaison linéaire d'autres colonnes (ou lignes) de cette matrice. On parle dans ce cas de colonnes (ou lignes) colinéaires.
Le contraire d'une matrice singulière est une matrice régulière ou inversible c'est à dire une matrice dont le déterminant est non nul ou, ce qui est équivalent, à dire que ses colonnes (ou lignes) sont linéairement indépendantes (non colinéaires).
Exemple:
`M = [[1,2,5],[-8,6,0],[2,4,10]]`
On constate que la troisième ligne peut être obtenue en multipliant la première ligne par un coefficient 2. Les vecteurs lignes de cette matrice n'étant pas linéairement indépendantes, cette matrice est singulière. Toutes ces propositions sont équivalentes et vraies pour la matrice carrée M :
- Les vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) sont colinéaires
- Les vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) sont linéairement dépendantes
- Les vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) ne sont pas linéairement indépendantes
- Le déterminant est nul
- Cette matrice est singulière
- Cette matrice n'est pas régulière
- Cette matrice n'est pas inversible
Pour prouver qu'une matrice est singulière, il suffit de prouver qu'une colonne (ou ligne) est une combinaison linéaire des autres colonnes (ou lignes). Si une telle combinaison linéaire ne "saute pas aux yeux" alors, on calcule son déterminant. Si celui-ci est nul alors la matrice est singulière.
Matrice inversible
Une matrice carré M n × n est dite inversible s'il existe une matrice que l'on note `M^(-1)` de taille n × n telle que,
`M*M^(-1) = M^(-1) * M = I_n`
`I_n` est la matrice identité de taille n × n.
En fait, M est inversible revient à dire que M n'est pas une matrice singulière.
Matrice diagonalisable
Une matrice carrée est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que `A = P D P^(-1)`.
Dans la pratique, pour diagonaliser une matrice de taille n × n, on procède selon les étapes suivantes :
On calcule d'abord son polynôme caractéristique.
Ensuite, on calcule ses vecteurs propres, ses valeurs propres et leurs multiplicités. On rappelle que les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique de la matrice et que les multiplicités des valeurs propres sont les dimensions des sous-espaces propres de la matrice.
Si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égal à n, alors la matrice est diagonalisable. En particulier, quand la matrice a n valeurs propres distinctes alors tous les sous-espaces propres ont une dimension 1 et la matrice est diagonalisable.
Matrice définie positive
Une matrice carrée M à coefficients réels est dite définie positive si elle vérifie simultanément les trois propriétés suivantes :
- M est une matrice symétrique.
- M est une matrice inversible.
- Toutes les valeurs propres de M sont strictement positives.
Matrice définie négative
Une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite définie négative si et seulement si la matrice (- M) ou (-1) * M est une matrice définie positve.
Matrice orthogonale
Soit M une matrice carré d'ordre n. M est dite orthogonale si elle vérifie une des deux propriétés équivalentes suivantes :
1/ \({}^t \! M . M = M . {}^t \! M = I_n\)
où, \(I_n\) est la matrice identité d'ordre n.
et \({}^t \! M\) est la matrice transposée de M.
2/ M est inversible et \(M^{-1} = {}^t \! M\)
Exemple:
`M = [[cos(theta),-sin(theta)],[sin(theta),cos(theta)]]`
On vérifie aisément que
\({}^t \! M . M = M . {}^t \! M = I_2\)
car
`cos^2(theta)+sin^2(theta)= 1`
Matrice symétrique
Une matrice carrée M est dite symétrique si elle est égale à sa propre matrice transposée c'est à dire,
\({}^t \! M = M\)
Ce qui est équivalent à,
Si les `a_(ij)` sont les coefficients de la matrice M, alors,
`a_(ij) = a_(ji)` pour tous i et j compris entre 1 et n.
Matrice carrée
Une matrice est dite carrée si elle a le même nombre de lignes que de colonnes. On dit qu'une matrice M est d'ordre n quand son nombre de lignes et son nombre de colonnes sont égaux à n.
Matrice unitaire
Une matrice M carrée à coefficients complexes est unitaire si elle vérifie les égalités suivantes,
\(M . M^{*} = M^{*} . M = I_n\)
- n ordre de la matrice carrée M
- \(M^{*}\) est la matrice adjointe (ou transconjuguée) de M
- \(I_n\) est la matrice identité d'ordre n
Cela équivaut à dire que M est inversible et sa matrice inverse est égale à sa matrice adjointe.
Pour une matrice à coefficients réels, cela équivaut au fait que M est une matrice orthogonale.
Matrice normale
Une matrice à coefficients complexes est dite normale lorsqu'elle commute avec sa matrice adjointe, c'est à dire,
\(M . M^{*} = M^{*} . M\)
Matrice involutive
Une matrice involutive est une matrice carré inversible qui est égale à sa propre matrice inverse. Si elle est d'ordre n alors, elle vérifie,
\(M^{-1} = M\)
ce qui est équivalent à (`I_n` étant la matrice identité d'ordre n),
\(M^{2} = I_n\)Matrice hermitienne
Une matrice à coefficients complexes est dite hermitienne (ou auto-adjointe) si elle est égale à sa propre transposée conjuguée, c'est à dire,
\(M = M^{*}\)
Matrice nilpotente
Une matrice est nilpotente s'il existe une puissance de cette matrice qui est égale à la matrice nulle. Ce qui équivant à,
Il existe un entier naturel n tel que,
`M^n = 0`
Si n est le plus petit entier vérifiant cette égalité, M est alors dite nilpotente d'indice n.
Matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Dans un espace de dimension n, elle s'écrit sous la forme,
\(D = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{pmatrix}\)
Exemple en dimension 2 :
\(D_2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)
Exemple en dimension 3 :
\(D_3 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\)
Voir aussi
Opérations sur les matrices
Déterminant d'une matrice
Matrice adjointe
Matrice inverse
Polynôme caractéristique
Vecteurs et valeurs propres