Racine d'un nombre complexe

Racine d'un nombre complexe

Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est la suivante,
`z = a + i * b`, a et b sont deux nombres réels

alors, la racine de z est le nombre complexe R tel que,

`R = x + i * y`, x et y sont seux nombres réels

`R^2 = z`
`(x + i * y)^2 = a + i * b`

Nous recherchons des nombres réels x et y tels que,

`(x + i * y)^2 = a + i * b`

`x^2 - y^2 + 2*x*i*y = a + i * b`

On obtient donc un système de deux équations et 2 inconnues x et y.

`{(x^2 - y^2 = a),(2*x*y = b):}`
On remarque qu'il sera plus simple de calculer d'abord x^2 et y^2. Pour cela on utilise le module comme suit,

`|R^2| = |z|`

`x^2+y^2 = sqrt(a^2+b^2)`

On récapitule notre système d'équations,

`{(x^2 - y^2 = a),(2*x*y = b),(x^2+y^2 = sqrt(a^2+b^2)):}`

En utilisant les équations (1) et (3), on déduit,

`x^2 = (sqrt(a^2+b^2)+a)/2`

`y^2 = (sqrt(a^2+b^2)-a)/2`

donc,
`x = +-sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)`

`y = +-sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)`

Pour déterminer les signes de x et y, il suffit d'utiliser l'équation (2).
- si b > 0 alors x et y ont le même signe, les 2 solutions du système d'équation sont

Première solution : `x = sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)` et `y = sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)`
x + i * y est une première racine de z

Seconde solution : `x = -sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)` et `y = -sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)`
x + i * y est la seconde racine de z.


- si b < 0 alors x et y ont des signes opposés, les solutions du système d'équations sont

Première solution : `x = sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)` et `y = -sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)`
x + i * y est une première racine de z

Seconde solution : `x = -sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)` et `y = sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)`
x + i * y est la seconde racine de z.

- si b = 0 alors y=0 et z est un nombre réel (z = a), on retrouve les solutions triviales de la racine d'un nombre réel,

`x = sqrt(a)`  ou
`x = -sqrt(a)`

Exemple

Calculer la racine de z = 1-i

La racine de z est noté R est telle que `R^2 = z = 1 - i`

`R = x+i*y`

`(x+i*y)^2 = 1-i`

1) `x^2 - y^2 = 1`

(2) `2*x*y = -1`

Par ailleurs, `|R^2| = |z|` donc,

(3) `x^2+y^2 = sqrt(2)`

En combinant (1) et (3) on obtient,

`x^2 = (sqrt(2)+1)/2`

`y^2 = (sqrt(2)-1)/2`

`x = +-sqrt((sqrt(2)+1)/2)`

`y = +-sqrt((sqrt(2)-1)/2)`

Or d'après (2) `x*y = -1/2` donc x et y ont des signes opposés,

Les solutions du systèmes sont,

Première solution : `x = sqrt((sqrt(2)+1)/2)` et `y = -sqrt((sqrt(2)-1)/2)`
x + i * y est une première racine de z

Seconde solution : `x = -sqrt((sqrt(2)+1)/2)` et `y = sqrt((sqrt(2)-1)/2)`
x + i * y est la seconde racine de z.

Voir aussi

Forme algébrique d'un nombre complexe
Module d'un nombre complexe