Triangle
Calculateur de triangle: vous pouvez saisir soit les longueurs des côtés et les angles, soit les coordonnées des sommets du triangles en 2D ou 3D.
Formules de calcul dans un triangle
Inégalité triangulaire
Dans tout triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cela s'écrit,
`b<= a+c`
`c<= a+b`
Loi des cosinus
Appelée aussi formule d'Al-Kashi ou théorème de Pythagore généralisé, cette loi est vérifiée pour tout triangle de côtés a, b et c et d'angles A,B et C,
`b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B)`
`c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C)`
Dans le cas d'un triangle rectangle en C, on a C = 90° et cos(C) = 0. On retrouve le théorème de Pythagore,
`c^2 = a^2 + b^2`
Formule des sinus
On conserve les même notations que ci-dessus, la formule des sinus s'écrit,
Aire d'un triangle
Dans tout ce qui suit, on note,
a, b, c : longueurs des côtés du triangle
Ar : aire du triangle
Il existe plusieurs formules pour calculer l'aire d'un triangle. Nous distinguons plusieurs cas.
Cas 1 : on connait un côté du triangle et la hauteur correspondante (a et ha ou b et hb ou c et hc).
ha, hb et hc étant les hauteurs du triangle issus de A, B et C.
Cas 2 : on connait deux côtés du triangle et leur angle (par exemple a, b et l'angle C).
Cas 3 : on connait les trois côtés du triangle.
Dans ce cas, l'aire peut être calculée à l'aide de la formule de Héron.
On note s le demi-périmètre du triangle `s = (a+b+c)/2`
La formule de Héron peut s'écrire sous d'autres formes:
`Ar = 1/4*sqrt((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))`
`Ar = 1/4*sqrt((a^2+b^2+c^2)^2-2*(a^4+b^4+c^4))`
`Ar = 1/4*sqrt(4*a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2)`
Hauteurs d'un triangle
Les hauteurs `h_a` (issue de A), `h_b` (issue de B) et `h_c` (issue de C) et l'aire du triangle (`A_r`) vérifient l'égalité suivante,
`A_r = 1/2*a*h_a = 1/2*a*h_b = 1/2*c*h_c`
On déduit les formules suivantes à l'aide de la formule de Héron ci-dessus,
`h_a = 2/a * sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`
`h_b = 2/b * sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`
`h_c = 2/c * sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`
où s est le demi-périmètre du triange
`s = (a+b+c)/2`
Médianes d'un triangle
Les médianes `m_a` (issue de A), `m_b` (issue de B) et `m_c` (issue de C) sont calculées à l'aide des formules suivantes,
`m_a = 1/2*sqrt(2*b^2 + 2*c^2-a^2)`
`m_b = 1/2*sqrt(2*c^2 + 2*a^2-b^2)`
`m_c = 1/2*sqrt(2*a^2 + 2*b^2-c^2)`
Cercles inscrit et circonscrit
Cercle inscrit dans un triangle
La formule du rayon du cercle inscrit (cercle vert de rayon r) est la suivante,
`r = 2*A_r/P`
`A_r` étant l'aire du triangle et P son périmètre.
En appliquant la formule de Héron (Cf ci-dessus), on obtient,
Rayon du cercle inscrit : `r = sqrt(((s-a)*(s-b)*(s-c))/s)` où s est le demi-périmètre du triangle `s=1/2*(a+b+c)`
Dans le cas particulier d'un triangle rectangle en C, on peut montrer en utilisant le théorème de Pythagore que,
Rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle : `r = (a+b-c)/2`
Cercle circonscrit dans un triangle
La formule du rayon du cercle circonscrit (cercle bleu de rayon R),
Cercle circonscrit : `R = a/(2*sin(A))=b/(2*sin(B))=c/(2*sin(C))`
La formule suivante est utile quand on connait les côtés du triangle,
Rayon du cercle circonscrit : `R = (a*b*c)/(4*A_r)` , `A_r` peut être calculé à partir du formule de Héron (Cf ci-dessus).
Appliquée à un triangle rectangle en C, on obtient bien `R = c/2` où c est la longueur de l'hypothénuse.
Voir aussi
Calculateurs de Géometrie Plane
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques